Phương trình Navier-Stokes


Ta xét một khối hình hộp chất lỏng thực được tách ra từ một thể tích chất lỏng chuyển động có các cạnh là dx,\;dy,\;dz song song với các trục tọa độ x,\;y,\;z, chuyển động với vận tốc \vec u  và gia tốc \frac{{d\vec u}}{{dt}}.

Các lực tác dụng lên hình hộp bao gồm:

–         Lực khối \vec F_k  với các hình chiếu lên các trục x,\;y,\;z  lần lượt là:

\vec F_{kx}=\rho Xdxdydz;

\vec F_{ky}=\rho Ydxdydz;

\vec F_{kz}=\rho Zdxdydz;

Trong đó: X,\;Y,\;Z  là hình chiếu của lực khối trên một đơn vị khối lượng chất lỏng.

–         Lực bề mặt  \vec F_m được xác định dựa theo các đại lượng áp suất và 9 thành phần ứng suất của lực nhớt lập thành tenxo ứng suất:

{\left( { - p + \tau _{xx} } \right)}              {\tau _{{\rm{yx}}} }               {\tau _{zx} }

{\tau _{xy} }                 {\left( { - p + \tau _{yy} } \right)}           {\tau _{zy} }

{\tau _{xz} }         {\tau _{yz} }              {\left( { - p + \tau _{zz} } \right)}

trong đó, áp suất được ký hiệu là p  và các ứng suất nhớt là \tau _{{\rm{ij}}} ; với ij trong \tau _{{\rm{ij}}} chỉ ra rằng thành phần ứng suất tác dụng theo phương j tại tiết diện vuông góc với phương i.

Phân tích hình chiếu của các lực mặt lên các trục tọa độ, chẳng hạn như hình chiếu các lực mặt lên trục  i có dạng:

Tiến hành tương tự với các trục yz ta có:

F_{my}=\left( {\frac{{\partial \tau _{xx} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yx}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zx} }}{{\partial z}} - \frac{{\partial p}}{{\partial y}}}\right)dxdzdy

F_{mz}=\left( {\frac{{\partial \tau _{xx} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yx}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zx} }}{{\partial z}} - \frac{{\partial p}}{{\partial z}}}\right)dxdzdy

–         Lực quán tính M\frac{{d\vec u}}{{dt}}, trong đó  M = \rho dxdydz là khối lượng chất lỏng.

Theo nguyên lý bảo toàn động lượng, lực quán tính phải cân bằng với các lực tác dụng nên đối với trục  x ta có phương trình cân bằng:

\frac{{du_x }}{{dt}}\rho dxdydz=\rho Xdxdydz + \left( {\frac{{\partial \tau _{xx} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yx} }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zx} }}{{\partial z}} - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)dxdzdy

nếu chia cả hai vế cho \rho dxdydz ta thu được:

\frac{{du_x }}{{dt}}=X - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \frac{1}{\rho }\left( {\frac{{\partial \tau _{xx} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yx} }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zx} }}{{\partial z}}} \right),

tương tự đối với trục y, z ta có phương trình cân bằng:

\frac{{du_y }}{{dt}}=Y - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \frac{1}{\rho }\left( {\frac{{\partial \tau _{xy} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yy} }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zy} }}{{\partial z}}} \right),

\frac{{du_z }}{{dt}}=Z - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial z}} + \frac{1}{\rho }\left( {\frac{{\partial \tau _{xz} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \tau _{yz} }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \tau _{zz} }}{{\partial z}}} \right).

Theo giả thiết của Newton thì các thành phần ứng suất  \tau _{xx} ,\;\tau _{yy} ,\;\tau _{zz} là các hàm số của vận tốc biến dạng dài của chất lỏng:

\tau _{xx}=2\mu \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} - \frac{2}{3}\mu \left( {\nabla ,\vec u} \right);
\tau _{yy}=2\mu \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - \frac{2}{3}\mu \left( {\nabla ,\vec u} \right);

\tau _{zz}=2\mu \frac{{\partial u_z }}{{\partial z}} - \frac{2}{3}\mu \left( {\nabla ,\vec u} \right);

cũng theo giả thiết của Newton (ứng suất nhớt tiếp tỉ lệ với biến dạng góc) mở rộng cho trường hợp chuyển động không gian:

\tau _{xy}=\tau _{yx}=\mu \left( {\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}}} \right);

\tau _{xz}=\tau _{zx}=\mu \left( {\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}} \right);

\tau _{yz}=\tau _{zy}=\mu \left( {\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}} \right);

từ đó ta có

\frac{{du_x }}{{dt}}=X - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \frac{1}{\rho }\left( {\frac{{\partial \left[ {2\mu \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} - \frac{2}{3}\mu \left( {\nabla ,\vec u} \right)} \right]}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \mu \left( {\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}}} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \mu \left( {\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}} \right)}}{{\partial z}}} \right)

hay

\frac{{du_x }}{{dt}}=X - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \nu \left( {\frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial z^2 }}} \right) + \frac{\nu }{3}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right)

Tương tự đối với trục  y, z ta có:

\frac{{du_y }}{{dt}}=Y - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \nu \left( {\frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial z^2 }}} \right) + \frac{\nu }{3}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right);

\frac{{du_z }}{{dt}}=Z - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial z}} + \nu \left( {\frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 u_x }}{{\partial z^2 }}} \right) + \frac{\nu }{3}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right);

Hệ phương trình trên chính là hệ phương trình Navier-Stokes (1822). Đây là phương trình động lực dưới dạng tổng quát nhất đối với chất lỏng thực. Hệ phương trình này có 6 biến: {\rm{V}}_{\rm{x}} ,\;{\rm{V}}_{\rm{y}} ,\;{\rm{V}}_{\rm{z}} ,\;p,\;\rho và T. Hệ số nhớt động lực μ là một hàm số phụ thuộc vào nhiệt độ T, nhưng định luật xem như đã biết.

Giả sử, hệ số nhớt động lực μ  là một hằng số (μ=const), khi đó hệ phương trình Navier-Stokes được viết dưới dạng véc-tơ như sau:

\frac{{d\vec u}}{{dt}}=\vec F - \frac{1}{\rho }grad\;p + \nu \Delta \vec u + \frac{\nu }{3}grad\left( {div\;\vec u} \right),

nếu sử dụng toán tử Hamington  \left( {\nabla=\frac{\partial }{{\partial z}} + \frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{\partial }{{\partial x}}} \right) ta có

\frac{{d\vec u}}{{dt}}=\vec F - \frac{1}{\rho }\nabla p + \nu \Delta \vec u + \frac{\nu }{3}\nabla \left( {\nabla ,\vec u} \right),

trong đó đạo hàm của véc-tơ vận tốc theo thời gian

\frac{{d\vec u}}{{dt}}=\vec i\frac{{du_x }}{{dt}} + \vec j\frac{{du_y }}{{dt}} + \vec k\frac{{du_z }}{{dt}},

lực khối tác dụng lên 1 đơn vị thể tích

\vec F = \vec iX + \vec jY + \vec kZ,

toán tử Laplace

\Delta=\frac{{\partial ^2 }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}{{\partial z^2 }},

hệ số nhớt động

\nu=\frac{\mu }{\rho }.

Trong trường hợp chất lỏng không nén được (ρ=const) từ phương trình liên tục ta có  \left( {\nabla ,\vec u} \right) = 0 phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực không nén được có dạng:

\frac{{d\vec u}}{{dt}}=\vec F - \frac{1}{\rho }\nabla p + \nu \Delta \vec u.

Trường hợp chất lỏng không nhớt (ν=const), ta có phương trình vi phân chuyển động Ơ-le của chất lỏng lý tưởng:

\frac{{d\vec u}}{{dt}}=\vec F - \frac{1}{\rho }\nabla p.

Trường hợp chất lỏng không chuyển động (u=0) hay chuyển động thẳng đều (\frac{{du}}{{dt}}=0) ta thu được phương trình Ơ-le tĩnh:

\vec F - \frac{1}{\rho }\nabla p=0,

Lưu ý: Do tính chất phi tuyến của phương trình Navier-Stokes nên tích phân của nó hiện chỉ có thể thực hiện được trong một số ít trường hợp, ví dụ như bài toán về dòng chảy giữa hai bản phẳng song song. Trong số lớn các trường hợp khác, người ta thực hiện tuyến tính hóa phương trình bằng cách đơn giản bớt các điều kiện bài toán, bỏ bớt một vài số hạng có ảnh hưởng không đáng kể so với các số hạng còn lại.



Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: