Phương trình liên tục


Để có thể tiến sâu vào lãnh địa của cơ học môi trường liên tục ta quyết tâm “nấu cháo” các phương trình cơ bản, cốt lõi của nó. Nếu như trong cơ học vật rắn có định luật bảo toàn khối lượng thì trong cơ học môi trường liên tục có phương trình liên tục hay còn gọi là định luật bảo toàn khối lượng cho chất lưu.

Giả sử mật độ của môi trường là \rho , ta biết rằng  \rho là hàm của chất điểm theo thời gian \rho \left( {\vec r,t} \right) . Trong đó \vec r là bán kính véc-tơ của phần tử chất lưu tại vị trí đang xét so với một điểm cố định bất kỳ mà ta lấy làm gốc tọa độ trong không gian.

Chuyển động của dòng chất lỏng được xác định khi ta biết được sự phân bố trường véc-tơ vận tốc \vec V của nó, trong đó véc-tơ vận tốc \vec V là hàm véc-tơ của chất điểm theo thời gian {\vec V}\left( {\vec r,t} \right).

Hàm vec-to vận tốc  {\vec V}\left( {\vec r,t} \right) và hàm mật độ\rho \left( {\vec r,t} \right) được liên hệ với nhau bởi phương trình liên tục.

Phương trình liên tục được thiết lập trên cơ sở 2 phương pháp tính mức độ thay đổi khối lượng chất lỏng bên trong mặt kín bất kỳ.

1/ Giả sử W là thể tích được bao bởi mặt kín \left( S \right) , khi đó khối lượng của thể tích đơn vị dW có giá trị là \rho dW, và khối lượng chất lỏng nằm bên trong mặt kín  \left( S \right) có giá trị:

M = \int\limits_W {\rho dW}

Ta tính được mức độ thay đổi khối lượng chất lỏng trong khoảng thời gian dt

dM = \int\limits_W {\frac{\partial }{{\partial t}}\rho dWdt} (1)

2/ Nếu xem xét thành phần dS của mặt  có véc-tơ pháp tuyến là \vec n , thì sau khoảng thời gian  dt lượng chất lỏng chảy ra phía ngoài mặt \left( S \right) sẽ là:

\vec V_n dSdt

Khối lượng của chất lỏng qua mặt \left( S \right) trong khoảng thời gian dt sẽ là:

\oint\limits_{\left( S \right)} {\rho \vec V_n dS} dt

chính vì vậy

dM = -\oint\limits_{\left( S \right)} {\rho \vec V_n dS} dt.(2)

Từ 2 công thức (1) và (2) ta thu được:

\int\limits_W {\frac{\partial }{{\partial t}}\rho dW}  + \oint\limits_{\left( S \right)} {\rho \vec V_n dS} =0

theo định lý Gauss-Ostrogradskogo

suy ra

đối với thể tích chất lỏng W bất kỳ tích phân trên thỏa mãn khi và chỉ khi

\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \left( {\nabla {\rm{,}}\rho {\vec V}} \right) = 0

phương trình này được gọi là phương trình liên tục tổng quát (đối với chất lỏng nén được và không ổn định).

Ngoài ra phương trình liên tục còn có thể được biểu diễn dưới dạng khác. Ta có

\left( {\nabla {\rm{,}}\rho {\vec V}} \right) = \rho \left( {\nabla {\rm{,}}{\vec V}} \right) + \left( {{\vec V},\nabla \rho } \right)

cho nên

\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \rho \left( {\nabla {\rm{,}}{\vec V}} \right) + \left( {{\vec V},\nabla \rho } \right) = 0

nhưng

\frac{{d\rho }}{{dt}} = \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \left( {{\vec V},\nabla \rho } \right)

suy ra

\frac{{d\rho }}{{dt}} + \rho \left( {\nabla {\rm{,}}{\vec V}} \right) = 0

Nếu là dòng chảy ổn định mật độ của các phần tử chất lỏng tại vị trí bất kỳ trong không gian không thay đổi theo thời gian, chính vì vậy đạo hàm theo thời gian địa phương của mật độ bằng 0

\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0

Khi đó phương trình liên tục chuyển thành

\left( {\nabla {\rm{,}}{\rho \vec V}} \right) = 0

Nếu chất lỏng không nén được (\rho = const) ta thu được công thức xinh xắn và dễ nhớ

\left( {\nabla {\rm{,}}{ \vec V}} \right) = 0

đây chính là điều kiện để một chất lỏng là không nén được.

2 Comments

  1. Trần Trung Nghĩa
    Posted Tháng Chín 20, 2011 at 2:21 chiều | Permalink | Trả lời

    Thanks bạn rất nhiều. Đây thực sự là một cách chứng minh táo bạo. Cũng có cách chứng minh khác theo phương pháp euler dựa vào chuỗi taylor nhanh gọn và dễ hiểu hơn nhiều.Tham khảo thêm sách “An introduction to dynamic meteorology”.

  2. ngọc quyên
    Posted Tháng Mười 11, 2011 at 3:10 sáng | Permalink | Trả lời

    đây là cách chứng minh hay đối với chất lưu còn phương trình liên tục đối với tất cả môi trường thì sao? ví dụ như phương trình liên tục của dòng điện trong môi trường địa chất?

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: