Tenxơ trong hệ tọa độ đềcác vuông góc


1. Hệ thống ký hiệu:

Hệ thống ký hiệu trong phép tính tenxơ đóng vai trò rất quan trọng. Các ký hiệu này đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn a_i, a_{ij}, a_{ijk}, v.v.. Ta quy ước như sau: các chỉ sổ bằng chữ la tinh lấy các giá trị 1,2,3. Do đó a_i biểu thị một trong ba phần tử a_1, a_2, a_3; a_{ij} biểu thị một trong 9 phần tử a_{11},a_{12},a_{13},a_{21},a_{22},a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33};  a_{ijk}  biểu thị một trong 27 phần tử a_{111},a_{112}, ….,a_{333}.

Hệ thống phần tử như a_i  chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao gồm 3 phần tử, từng phần tử của nó gọi là thành phần của hệ thống. Ta gọi là hệ thống phụ thuộc hai chỉ số là hệ thống hạng hai, nó bao gồm 3^2=9 phần tử. Tổng quát hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n, nó bao gồm  3^n phần tử.

2. Quy ước về chỉ số

Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần, nó biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm , ta có thể thay bằng chữ khác.

Ví dụ: a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = a_kb_k.

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.

Ví dụ: a_i  là hệ thống gồm a_1,a_2,a_3.

3.Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

Giả sử ta có hệ thống  a_{ij}, nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là

a_{ij} = a_{ji}

thì hệ thống a_{ij} gọi là hệ thống đối xứng. Mở rộng cho hệ thống có nhiều chỉ số, hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi, khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau. Chẳng hạn hệ thống a_{ijk} đối xứng theo hai chỉ số ik thì

a_{ijk} = a_{ikj}

Ký hiệu Kronnecker là trường hợp đặc biệt của hệ thống đối xứng, ta có những trường hợp như sau:

\delta_{ij}=1 nếu i=j ;

\delta_{ij}=0 nếu i \ne j

và  \delta_{ii}=3

Ta gọi hệ thống a_{ij}  là phản đối xứng, nếu khi thay đổi vị trí của hai chỉ số đó cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối, nghĩa là

a_{ij} = -a_{ji} .

Từ đây suy ra  a_{11} = a_{22} = a_{33} = 0. Cũng tương tự như trên hệ thống với nhiều chỉ số có thể phản đối xứng với hai chỉ số nào đấy.

Ký hiệu Levi-Civita e_{ijk}  là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau

e_{ijk}=0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau,

e_{ijk}=1 khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1 2 3

e_{ijk}=-1 khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1 2 3.

Đây chỉ là những khái niệm cơ bản nhất nhập môn với phép tính Tenxơ, với những ai có ý định nghiên cứu sâu về cơ học môi trường liên tục thì những khái niệm này sẽ là những nét mực đầu tiên mà ta cần phải nắn nót tập viết, với nó ta sẽ có rất nhiều kỷ niệm đẹp.

Tài liệu:

1/Đào Huy Bích: Cơ học môi trường liên tục.

2/Кочин Н.Е. Векторный анализ и начало тензорного исчисления.

Câu hỏi tham khảo:

1/Chỉ số câm, chỉ số tự do trong phép tính Tenxơ.

2/Thế nào là hệ thống đối xứng và phản đối xứng.

1/Ký hiệu Kronneckor.

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: