Mô hình toán học !


Toán học khô khan và khó “ăn”, tuy nhiên loài người đã sống mà không thể thiếu được cái cục đá khô khan này. Không những thế nó còn là công cụ cực mạnh để mô tả các hiện tượng tự nhiên. (Vốn dĩ mục đích của khoa học là đi giải thích và tiên đoán các hiện tượng tự nhiên).

Thuật ngữ  “Mô hình” chúng ta thường nghe chẳng hạn: Máy bay mô hình, mô hình hạt nhân nguyên tử, mô hình thiên hà, mô hình thế giới v.v.. vậy mô hình toán học (MHTH) nghĩa là gì ?

Trong khoa học kỹ thuật, kinh tế, môi trường v.v. nếu sử dụng phương pháp thực tiễn để làm thí nghiệm sẽ rất đắt đỏ, nguy hiểm và thậm chí là không thể thực hiện được. Tôi lấy ví dụ như khi nghiên cứu chuyển động của các vì sao hay của thiên hà, việc xây dựng thí nghiệm thực tiễn là không thể. Khi nghiên cứu họat động của khí quyển để dự báo thời tiết một cách chính xác cũng khó lòng mà xây dựng được thí nghiệm một cách hoàn hảo. Nhất là trong kỹ thuật hàng không vũ trụ, việc xây dựng các mô hình máy bay, tàu con thoi, trạm vũ trụ rồi tiến hành thí nghiệm sẽ tiêu tốn rất nhiều tiền của.

Đành rằng nếu sử dụng phương pháp thực nghiệm để tính toán sẽ cho ra kết quả khách quan và rất chính xác, nhưng trong thời đại chúng ta khi mà một máy tính cá nhân (Computer) có thể tính toán hàng triệu phép tính trên một giây thì việc sử dụng phương pháp lý thuyết để tính toán là điều cần thiết và hữu ích cho việc nghiên cứu cũng như dự đoán các hiện tượng tự nhiên.

Dẫu sao lý thuyết vẫn chỉ là lý thuyết, mọi lý thuyết đều phải được kiểm định bằng thực nghiệm.

Như vậy, để mô tả các hiện tượng tự nhiên, cần sử dụng các công cụ toán học một cách logic, nói tóm gọn đó chính là các phương trình toán học và các điều kiện toán học. Tổng quan tất cả những công cụ toán học mô tả một hiện tượng tự nhiên cụ thể được gọi là Mô hình toán học.

Việc sử dụng MHTH để giải quyết một bài toán thực tiễn thường có sai số trong quá trình tính toán, những sai số này không được vượt quá mức độ giới hạn cho phép, trong giới hạn này MHTH sẽ cho ra những lời giải rất sát với thực tiễn.  Khi đấy có thể sử dụng các kết quả tính toán này cho việc nghiên cứu, đánh giá cũng như  dự  đoán các hiện tượng tự nhiên.

Tôi đưa ra một ví dụ cụ thể: Phương trình chuyển động của chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes như  sau:

\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial \vec{t}} + \vec{V}.\nabla \vec{V} = - \dfrac{\nabla{\vec{p}}}{\rho} + \nu\nabla^2{\vec{V}}

Trong đó \nu là hệ số nhớt động, \vec{V} – tốc độ của các phần tử chất lỏng, p – áp suất của môi trường, và \rho  là mật độ của dòng chất lỏng.

Kết hợp với phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:

(\nabla.\vec{V})=0

Và điều kiện biên:

\vec{V}_S = \vec{U}

Trong đó \vec{V}_S – tốc độ của hạt chất lỏng trên bề mặt vật thể, \vec{U} – điều kiện biên.

Hệ pt Navier-Stokes dạng tổng quát nếu viết dưới dạng khai triển vi phân sẽ có dạng như  sau:

(Ảnh trích từ  http://www.nasa.gov)

Như vậy trong hệ phương trình này có các đại lượng mô tả đặc tính vật lý của dòng chảy như: áp suất, tốc độ, độ nhớt, thời gian t.
Sử dụng hệ phương trình Naivier-Stokes kết hợp với các điều kiện biên ta có thể tính toán được các đại lượng vật lý của chất lỏng tại các vị trí khác nhau trong không gian theo thời gian t, nghĩa là ta biết được chuyển động của dòng chất lỏng, và cũng là mục đích cuối cùng mà ta cần đạt được.
Trên thực tế, để lý giải một hiện tượng tự nhiên bằng MHTH thường chia thành 3 giai đoạn:

Mô hình – Thuật giải – Phần mềm.

1/ Giai đoạn 1: Xây dựng mô hình toán học sử dụng các định luật vật lý tự nhiên.
2/ Giai đoạn 2: Xây dựng thuật toán để thực thi mô hình.
3/ Giai đoạn 3: Xây dựng phần mềm tính toán và thực hiện tính toán.

Câu hỏi:
1/Thế nào là mô hình toán học?
2/Các giai đoạn lý giải một hiện tượng tự nhiên sử dụng MHTH?
3/Hệ phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng không nén dưới dạng véctơ?

Tài liệu tham khảo

http://mmes.jscc.ru/lab02k/ref/mat_modr.html

http://vi.wikipedia.org/wiki/Mô_hình_toán_học

http://mathworld.wolfram.com/Navier-StokesEquations.html

http://www.nasa.gov

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: