Векторный анализ


Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Содержание

  • 1 Сфера применения
  • 2 Векторные операторы
  • 3 Основные соотношения
  • 4 Исторический очерк
  • 5 См. также
  • 6 Литература
  • 7 Ссылки

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

  • Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
  • Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

  1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
  2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
  3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

  • Ротор и дивергенция — для векторных полей.
  • Градиент, лапласиан — для скалярных полей.
Оператор Обозначение Описание Тип
Ротор  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор \Rightarrow вектор
Дивергенция  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор \Rightarrow скаляр
Градиент  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. Скаляр \Rightarrow вектор
Лапласиан  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр \Rightarrow скаляр

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема Запись Пояснения
Теорема о градиенте  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина \int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса  \int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен криволинейному интегралу по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Вскоре Гамильтон ввёл понятие векторного поля, вектор-функции, дифференциальный оператор \nabla («набла») и многие другие понятия векторного анализа.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла, заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид.

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: