Векторный потенциал


В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

 \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(дивергенция ротора равна нулю) следует

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

то есть v должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Содержание

  • 1 Теорема
  • 2 Неоднозначность выбора потенциала
  • 3 Векторный потенциал в физике
    • 3.1 Уравнения Максвелла
    • 3.2 Свобода выбора калибровки потенциала
      • 3.2.1 Калибровка Кулона
      • 3.2.2 Калибровка Лондонов
      • 3.2.3 Калибровка Ф=0
      • 3.2.4 Калибровка Лоренца
  • 4 См. также
  • 5 Литература по магнитному векторному потенциалу

Теорема

Пусть

\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

 \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int\limits_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}.

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

 \mathbf{A} + \nabla m

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал \mathbf A вводится таким образом, что

\mu_0 \mathbf H = \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A (в системе СИ).

При этом уравнение \operatorname{div} \mathbf B = 0 удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для \mathbf A в

\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

приводит к уравнению

\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в \mathbf E вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}

Из уравнения \operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t} следует

\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right)

Используя равенство \operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\epsilon_0}

Свобода выбора калибровки потенциала

Легко убедиться, что преобразования

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi
\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t}

где ~\psi – произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла. Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровкой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две — калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Кулона

Калибровка Лондонов

Калибровка Ф=0

Калибровка Лоренца

Калибровкой Лоренца называют выражение:

\operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0

В этом случае уравнения переписываются в виде:

\Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_0}

Уравнения, записанные в таком виде, удобнее использовать для решения нестационарных задач.

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: