Mặt và đường cong bậc hai


Đường cong bậc hai dạng tổng quát trên mặt phẳng có dạng

ax^2+ by^2+2cxy +2dx+2ey+f=0

trong đó a, b, c, d, e, f là các hằng số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính (nói một cách dễ hiểu, ta ghép vào thành các số hạng có dạng bình phương) ta có thể chuyển thành một trong các dạng sau:

X^2 + Y^2= R^2, (đường tròn- ellip)

X^2- Y^2=R^2 (hyperbol)

X^2-2Y=0. (parabol)

Với dạng ellip ta chọn cách tham số hóa theo hệ tọa độ cực

X= R\cos{(\varphi)}, Y=R\sin{(\varphi)}, 0\le \varphi\le 2\pi.

Với dạng hyperbol ta chọn cách tham số hóa

X= R\cosh{(t)}, Y=R\sinh{(t)}, 0\le t.

Trường hợp parabol đơn giản Y=\dfrac{1}{2}X^2.

Mặt cong bậc hai trong không gian dạng tổng quát

a_1x^2+a_2y^2+a_3z^2+2b_1xy +2b_2yz+2b_3zx+

+2c_1x+2c_2y+2c_3z+d=0,

trong đó a_i, b_i, c_i, i=1, 2, 3,d là các số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính ta sẽ chuyển về một trong các dạng sau

X^2 +Y^2+ Z^2=R^2, (mặt cầu- ellipsoid)

X^2+Y^2=Z^2, (mặt nón)

X^2+Y^2=Z^2+a, a\not=0, (hyperboloid)

X^2+Y^2= R^2, (mặt trụ)

X^2+Y^2+2Z=0, (paraboloid)

X^2 +2Y=0.

Với trường hợp mặt ellipsoid chọn cách tham số hóa cầu

X=R\cos{(\varphi)}\sin{(\theta)}, Y=R\sin{(\varphi)}\sin{(\theta)}, Z=R\cos{\theta},

0\le \varphi\le 2\pi, 0\le \theta\le \pi.

Với các trường hợp còn lại, trừ trường hợp cuối cùng, ta dùng cách tham số trụ

X=R\cos{(\varphi)}, Y=R\sin{(\varphi)}, Z=Z, 0\le \varphi\le 2\pi.

Mặt nón ta có R=|Z|.

Mặt hyperbol ta có R^2-Z^2=a, a\not=0.

Nếu a=r^2>0 ta tham số R=r\cosh{(t)}, Z=r\sinh{(t)}, 0\le t.

Nếu a=-r^2<0 ta tham số ngược lại.

Đăng 1 phản hồi

Required fields are marked *

*
*

%d bloggers like this: